Die Abkürzung, die allen Zeit stiehlt

Wo sind die gewonnenen Minuten geblieben?

Um das herauszufinden, brauchst du acht Spielfiguren und eine Karte mit vier Punkten. Die Zahlen kannst du auf der Seite selbst nachverfolgen.

Acht Figuren, zwei Wege

Alle wollen vom Start S zum Ziel Z. Dazwischen liegen die Punkte A und B. Ein Weg führt über A, der andere über B.

Zwei Straßen haben eine feste Fahrzeit: Von A nach Z und von S nach B dauert es jeweils zehn Minuten. Auf den beiden anderen Straßen hängt die Zeit davon ab, wie viele Figuren sie benutzen: Vier Figuren bedeuten vier Minuten für jede; acht Figuren bedeuten acht Minuten für jede. Du zählst deine eigene Figur mit.

Das ist eine vereinfachte Spielregel. Wir lassen hier keine Autos durch einen Stau fahren. Zuerst legen wir die vollständigen Wege aller Figuren fest. Dann zählen wir die Nutzer jeder Straße und berechnen ihre Zeiten. Wenn eine Figur den Weg wechselt, rechnen wir die neue Verteilung aus.

Ohne Verbindung zwischen A und B verteilen sich die acht Figuren gleichmäßig: vier über A, vier über B. Jede Fahrt dauert vier plus zehn, also vierzehn Minuten. Wer allein auf den anderen Weg wechselt, ist dort eine von fünf Figuren und braucht fünfzehn Minuten. Bleiben lohnt sich.

Jetzt wird die Verbindung von A nach B geöffnet. Sie ist eine Einbahnstraße und kostet im Spiel null Minuten. Würdest du deinen bisherigen Weg verlassen?

Dein erster Gewinn ist echt

Du warst auf dem Weg über A. Statt von A zehn Minuten direkt nach Z zu fahren, nimmst du die neue Verbindung nach B und von dort die andere Straße zum Ziel.

Auf dem ersten Abschnitt S–A bleiben vier Figuren: Du fährst dort weiterhin mit. Auf B–Z sind es nun fünf, denn zu den vier bisherigen Figuren kommst du hinzu. Deine neue Fahrt dauert deshalb vier plus null plus fünf: neun Minuten.

Die Abkürzung spart dir in dieser Verteilung fünf Minuten. Wir haben keinen Rechenfehler versteckt. Nur eine Annahme hält nicht lange: dass alle anderen ihren bisherigen Weg behalten.

Auch sie dürfen wechseln. Mit jedem Wechsel werden die beiden Straßen, deren Zeit von der Nutzerzahl abhängt, anders belastet. Dein schöner Wert von neun Minuten beschreibt die erste Verteilung nach deinem Wechsel. Er ist kein Versprechen für die nächste.

Die Abkürzung wird zur Falle

Verfolge nun die Wechsel, einen nach dem anderen. Jede Figur, die noch auf einem alten Weg ist, kann ihre aktuelle Fahrzeit durch den Wechsel zur Verbindung verkürzen. Die anderen Figuren behalten bei diesem Vergleich zunächst ihre Wege. Danach werden die Zeiten für alle neu berechnet.

Am Ende nehmen alle acht den Weg S–A–B–Z. Die beiden Straßen mit veränderlicher Fahrzeit müssen jetzt jeweils alle acht Figuren aufnehmen. Das ergibt acht plus null plus acht: sechzehn Minuten.

Jede Person braucht zwei Minuten länger als vor der Eröffnung. Dabei fährt auf den beiden Straßen mit den festen zehn Minuten überhaupt niemand mehr. Sie sehen plötzlich wie die perfekte Ausweichmöglichkeit aus.

Also zurück auf den alten Weg?

Der leere Weg rettet dich nicht

Du verlässt die Verbindung und fährst wieder über A direkt nach Z. Auf S–A bleiben trotzdem acht Figuren: Die sieben anderen brauchen diesen Abschnitt weiterhin, und du ebenfalls. Danach kommt die feste Zehn-Minuten-Straße.

Deine Rechnung lautet jetzt acht plus zehn: achtzehn Minuten. Über B wäre das Ergebnis dasselbe. Allein auszuscheren kostet dich weitere zwei Minuten.

Damit ist eine merkwürdige Ruhe eingekehrt: Niemand kann sich durch einen einzelnen Wechsel verbessern, obwohl alle gemeinsam vorher besser dastanden. So eine Verteilung nennt man ein Gleichgewicht der Routenwahl. „Gleichgewicht“ bedeutet hier also nicht „bestmöglich“.

Würde die Verbindung geschlossen und würden sich die acht Figuren wieder vier zu vier aufteilen, lägen alle erneut bei vierzehn Minuten. Das Problem steckt nicht in einer langsamen neuen Straße. Es entsteht dadurch, wie die neue Möglichkeit die Entscheidungen und damit die Belastung der übrigen Straßen verändert.

Derselbe Plan, drei verschiedene Ergebnisse

Bevor du aus dieser Geschichte eine Regel gegen neue Straßen machst, ändere die Zahl der Figuren. Die Karte und sämtliche Zeitregeln bleiben gleich. Verglichen werden jeweils Verteilungen, in denen niemand durch einen einzelnen Wechsel schneller wird.

• 2 Figuren: Ohne Verbindung eine über A und eine über B, jeweils 11 Minuten. Mit Verbindung nehmen beide S–A–B–Z und brauchen 4 Minuten: 7 Minuten schneller.
• 8 Figuren: Ohne Verbindung vier über A und vier über B, jeweils 14 Minuten. Mit Verbindung alle über S–A–B–Z, jeweils 16 Minuten: 2 Minuten langsamer.
• 24 Figuren: Ohne und mit Verbindung jeweils zwölf über A und zwölf über B, jeweils 22 Minuten. Die Verbindung bleibt im Gleichgewicht unbenutzt.

Warum die Verbindung bei 24 Figuren leer bleibt

Mit zwei Figuren ist die Verbindung hervorragend. Mit vierundzwanzig bleibt sie im gezeigten Gleichgewicht unbenutzt. Wer dann allein vom Weg über A auf die Verbindung fährt, zählt auf S–A weiterhin zwölf Figuren, auf B–Z aber dreizehn: fünfundzwanzig Minuten. Der Wechsel lohnt sich nicht.

Eine Verbindung, drei Ergebnisse. Ihre Wirkung hängt auch davon ab, wie viele sie nutzen könnten und welche Alternativen sie haben.

Was du aus der Karte mitnehmen kannst

Dietrich Braess beschrieb 1968 mathematisch, wie eine zusätzliche Verbindung die Fahrzeiten in einem Straßennetz verschlechtern kann. Unsere acht Figuren sind ein eigenes, bewusst einfaches Rechenbeispiel für diesen Mechanismus. Sie bilden keine wirkliche Stadt ab.

Die nützliche Frage bei einer versprochenen Abkürzung lautet deshalb: Was passiert, wenn die anderen ihre Entscheidung ebenfalls ändern? Prüfe außerdem, ob die Zahl der Fahrten gleich geblieben ist und ob von deinem einzelnen Weg oder vom Ergebnis für alle gesprochen wird.

Eine echte Straße lässt sich mit diesen acht Figuren weder empfehlen noch verwerfen. Dafür fehlen unter anderem wirkliche Fahrzeiten, Kreuzungen, unterschiedliche Ziele und das Verhalten der Menschen. Hier siehst du lediglich, warum eine zusätzliche Wahlmöglichkeit allein noch keinen Zeitgewinn garantiert.

Deine erste Fahrt dauerte tatsächlich neun Minuten. Du hattest die Abkürzung richtig erkannt. Die anderen auch. Genau darin lag die Überraschung.

Quellen und weiterführende Informationen

• Dietrich Braess: Über ein Paradoxon aus der Verkehrsplanung (1968)
• Braess, Nagurney und Wakolbinger: On a Paradox of Traffic Planning (2005)
• Anna und Ladimer Nagurney: The Braess Paradox (2020)